完美体育完全且完美信息动态博弈--动态博弈模型
完美体育斯塔克博格模型是一个双寡头动态模型。该模型假设有两个企业，与古诺模型类似，这两个企业的决策的选择也是产量。在这两个企业中，其中一个企业处于支配地位，先行动进行产量选择，另一个企业处于从属地位，在支配企业选择产量之后再进行选择，因此，这是一个动态博弈问题。我们再假设博弈结构的其他方面，比如策略空间、收益函数和信息结构等与古诺模型一样。因此，这个斯塔克博格博弈模型是一个完全且完美信息的动态博弈。与古诺模型的唯一区别只是两博弈方的选择现在是先后进行的，而不是同时进行的。
我们采用逆向归纳法来找出该博弈的子博弈精炼纳什均衡，我们首先计算企业2对企业1任意产量的最优反应。假设企业1、2的最优产量分别是q_{1}^{\ast }和q_{2}^{\ast }，我们有
由于企业1同样能够像企业2一样解出企业2的最优反应，企业1就可以预测出它自己选q_{1}的产量时，企业2将用最有函数计算出它的产量。企业1在开始选择时，它要考虑的问题表示成：
我们与静态博弈中固诺模型相比，发现斯塔克博格双寡头博弈中两个企业的总产量是\frac{3(a-c)}{4}，比古诺模型中总产量是\frac{2(a-c)}{3}要大，那么市场出清价格要低，总利润会比古诺模型要小。但是斯塔克博格双寡头博弈中企业1的收益比古诺模型中两个企业的收益大，也大于该博弈中企业2的收益。这是因为斯塔克博格双寡头博弈中两个企业不对等，企业1会先选择，而且了解企业2会理性选择，从而企业1能够获得更多的收益完美体育。
我们来再分析一个劳资双方的工会和企业之间的博弈模型。假设工资完全由工会决定，但企业却可以根据工会要求的工资高低决定就业的人数完美体育，即企业和企业工会之间就工资水平讨价还价，企业自主决定就业水平。
显然，工会是在工资水平与就业数量上与企业进行博弈，不会只追求较高的工资这目标，而牺牲就业数量，因此工会代表的劳方效用应该是工资水平和雇用数两者的函数，即u=u(W,L)，其中W和L分别表示工资水平和企业雇用的工人数。
企业的效用以利润来表示，利润是收益和成本之差，这样企业的利润函数为\pi =\pi \left( W,L\right) =R\left( L\right) -W\times L，也就是工资水平和劳动力雇用数两者的函数。其中R(L)为企业雇用L名工人可以取得的收入，W为雇用L名工人所必须支付的总成本,即工资。假设生产成本为零，工会和企业之间的博弈顺序为：工会先决定工资水平，企业根据工会提出的工资水平决定雇用人数。假设工资水平和雇用数都是连续可分的，工会和企业的得益分别是效用函数u(W,L)和利润\pi(W,L)。
我们用逆向归纳法分析这个博弈。首先分析第二阶段的企业对第一阶段工会选择的工W的反应函数L(W)。设工会提出的工资水平为W，那么企业选择L^{\ast}(W)以实现自己的最大得益，就是求解最大值问题:
对上式中的L求偏导数并令其为零，得到R^{^{\prime }}\left( L\right) -W=0。因此对具体的问题，只要从R^{^{\prime }}\left( L\right) -W=0中解出L，就是在给定工会选择工资水平W时企业的最优雇用数量。为保证导数为零有解，我们假定R^{^{\prime }}\left( 0\right) =\infty，R^{^{\prime }}\left( \infty \right) =0。R^{^{\prime }}\left( L\right) -W=0的经济意义是企业增加雇用人数时的边际收益，也就是企业雇用的最后一个单位劳动力所能增加的收益，恰好等于雇佣一单位劳动的边际成本，即支付给工人的工资水平。在收益函数R(L)的图形上反映出来，就是企业取得最大利润的雇佣数L^{\ast}(W)对应的R(L)曲线上点处的切线斜率一定等于工资率，如下图所示
回到第一阶段工会的选择。由于工会了解企业的选择套路，所以说对于工会而言，它完全可以预测出对于自己选择的每一种工资水平W，企业将选择的雇佣数一定是L^{\ast}(W)。因此，工会需要解决的决策问题变成选择W^{\ast}，使它能够满足最大值问题：
的解。如果我们给出了工会效用函数的具体形式，就可以通过解这个最大值问题，求出符合工会最大利益的工资率W^{\ast}。
在经济学中，有关于产量和效用水平的无差异曲线理论。现在假设我们有对应工会效用函数u(W,L)的W和L之间的无差异曲线。如下图所示。
令L不变，当W提高时，工会的福利就会增加，于是位置越高的无差异曲线代表工会的效用越高。那么，我们可以通过将企业的反应函数L^{\ast}(W)画在图中，得出W^{\ast}的一个图解。显然，与企业的反应函数相切的那条无差异曲线对应的效用，就是工会能够实现的最大效用，切点的纵坐标W^{\ast}正是工会实现这个最大效率必须选择的工资水平，横坐标则是企业对工会W^{\ast}的最佳反应L^{\ast}(W^{\ast})。因此，这个博弈的均衡解就是[W^{\ast},L^{\ast}(W^{\ast})]，而且是一个子博弈纳什均衡完美体育。
讨价还价是一类常见的博弈现象，是一个不断的“出价”和“还价”的动态博弈过程。它是博弈论最早研究的一种博弈问题，大量的研究已使其成为博奔论的一个重要分支领域。下面我们对鲁宾斯英在1982年提出的轮流出价博弈问题进行分析。
首先讨论一个三回合谈判博弈。假设有两个人继承了一笔遗产，现在两个人就如何分享这K万元遗产进行谈判。再假设两个人已经定下了这样的谈判规则：首先由甲提出一个分割比例，乙可以接受也可以拒绝。如果乙拒绝则他自己应提出另一个方案，让甲选择接受或拒绝。如此一直进行下去。一个条件一旦被拒绝，它就不再有约束力，并和下面的博弈不再相关。在上述循环过程中，只要任何一方接受对方的方案，博弈就结束。再设每一次一方提出一个方案和另一方选择是否接受为一个回合，由于谈判费用和利息损失等，双方的利益都要打一个折扣\delta(0\delta1)，我们称为“贴现因子”。如果进一步假设讨价还价最多只能进行三个回合，到第三回合乙必须接受甲的方案，则这个三回合计博弈可用下述方式清楚地描述：
第一回合，甲的方案是自己得S_{1}，乙得K-S_{1}，乙可以选择接受或不接受，接受则双方方得益分别为S_{1}和K-S_{1}，谈判结束，如果乙不接受，则开始下一回合;
第二回合，乙的方案是甲得S_{2}，自己得K-S_{2}，由甲选择是否接受，接受则双方得益分别为\delta(S_{2})和\delta(K-S_{2})，谈判结束，如甲方不接受则进行下一回合；
第三回合，甲提出自己得S，乙得K-S，这时乙必须接受，双方实际得益分别为\delta^{2}S和\delta^{2}(K-S)。
由于上述三回合中双方提出的S_{1}、S_{2}和S都可以是0到K之间的任意金额，因此我们可以认为这个三回合讨价还价博弈中，两博方可提出的S_{1}、S_{2}和S都有无限多种，是一个无限策略的动态博弈，用一个扩展形来表示如下图：
下面用逆向归纳法来求解这个博弈。首先分析博弈的第三个回合。在第三回合，因为甲的出价S乙必须接受，根据理性人条件，甲可以选择S=K，自己独得这笔钱，使自己的利益最大化。不过我们这里排除这一极端情况，仍然把S作为甲在该回合的一般出价。这样当博弈进行到第三回合时，我们知道双方的得益分别为\delta^{2}S和\delta^{2}(K-S)
现在倒推回到第二回合乙的选择。乙知道一旦博弈进行到第三回合，甲将出S，自己将得\delta^{2}(K-S)而甲得\delta^{2}S。如果乙已经拒绝了第一回合甲的方案，此时他该怎样出价才能使自己的得益最大化呢？显然只有乙出的S_{2}让甲接受时的收益与拒绝这一出价进入下一阶段时甲的收益无差别(或者不小于第三阶段的收益)时，甲才会接受乙的出价S_{2}而这时乙又能使自己的得益比第三回合的得益大，那么这样的S_{2}就是最符合乙的利益的。也就是当S_{2}满足\delta S_{2}=\delta^{2}S，即S_{2}=\delta S时，此时乙的得益为\delta(K-\delta S)=\delta K-\delta^{2}S。因为0\delta1，因此该得益与进行到第三回的得益\delta^{2}(K-S)相比要大一些。这是乙可能得到的最大得益。
最后再回到第一回合甲的考虑。甲一开始就知道第三回合自己的得益是\delta^{2}S，也知道乙会在第二回合出价S_{2}=\delta S，因此进行到第二回合自己的得益也是\delta^{2}S，而乙则会满足于得到\delta K-\delta^{2}S。因此如果甲在第一回合的出价S_{1}使得乙的收益不小于\delta K-\delta^{2}S，则乙就会接受甲的出价，而这时甲又能得到比\delta^{2}S更大的利益，这样的出价就是甲此时所希望的了。因此只要令K-S_{1}=\delta K-\delta^{2}S时即可实现上述目的。此时乙的得益与到第二回合的利益相同，还是\delta K-\delta^{2}S，而甲的得益K-\delta K+\delta^{2}S则比进行到第二、第三回合的得益\delta^{2}S更大。因此这个博奔在甲第三回合会出S，而且对方必须接受的情况下，甲第一回合出价S_{1}=K-\delta K+\delta^{2}S，乙方接受，甲、乙双方得益K-\delta K+\delta^{2}S和\delta K-\delta^{2}S，是这个博弈的子博弈精练纳什均衡解。
注意在本博弈中，上述结论得出的前提是甲在三回合的出价S必须是双方都预先知道的，也就是说(S,K-S)是外生给定的。如果因为甲在第三回合的方案乙必须接受，因此甲提出S=K，那么博弈的解就是甲在第一回合出价S_{1}=K(1-\delta+\delta^{2})，乙接受，双方的得益为[K(1-\delta+\delta^{2}),K(\delta-\delta^{2})]，在这种情况下，双方获得利益的比例取决于\delta K-\delta^{2}的大小。\delta K-\delta^{2}越大，甲的比例越小，乙的比例越大完美动态。当\delta=0.5，K=1时，\delta K-\delta^{2}有最大值0.25；当0.5\delta1时，\delta越大，\delta K-\delta^{2}越小，甲的得益越大，乙的得益越小；当0\delta0.5时，\delta越大，\delta-\delta^{2}越大，甲的得益越小，乙的得益越大。这种结果反映了在此博弈中，乙讨价还价的筹码是和甲拖延时间，拖延时间可以给甲造成损失。拖延时间对甲造成的损失越大甲愿意分给乙以求早日结束讨价还价的利益就越大。一般来说，如果0\delta1，均衡结果不仅依赖于贴现因子的相对化率，而且依赖于时间T的长度和谁在最后出价。因此该博弈对我们现实的经济生活中的谈判具有很好的启发意义。
虽然在三回合谈判博弈分析中谈到乙可以采取拖延战术来获取较多的利益，但博弈一旦真的被拖入无限次阶段，其最终的结果会变得非常复杂。下面我们就来分析无限次的谈判博弈。无限次谈判博弈在第三回合并不会强制结束，只要双方互不接受对方的出价方案，则博弈就要不断进行下去，奇数期由甲出价，偶数期由乙出价，无限次谈判博弈中同样有一个折旧系数。
我们仍然希望能够用逆向归纳法来分析这一无限次谈判动态博弈，然而由于无限次谈判博弈没有一个可以借以分析的最后期，因此逆向归纳法无法直接应用。1984年夏克德和萨顿给出了一种解决无限回合博弈问题的结论：
对于一个无限次回合博弈，从第三阶段开始与第一阶段开始的整个过程的博弈，其结果都是一样的。
依据这一结论，我们可以把无限次博弈变成一个有限次博弈，并应用对有限次博弈分析的思路和方法进行分析。在无限次谈判博弈中，不管是从第一阶段开始还是从第三阶段开始，都是先由甲出价，然后双方交替出价，直到一方接受为止。
依据上述分析，我们可以先假设整个博弈有一个逆向归纳的解，甲和乙的得益分别为S和K-S，即甲在第一阶段出价S，乙接受时双方的得益。根据夏克德和萨顿的结论，从第三阶段开始这个无限次博弈，与从第一期阶段开始应该得到一样的结果，因此上述逆向归纳的解也应该是从第三阶段开始的博弈的结果。也就是说，第三阶段也应该是甲出S乙接受，双方得益S和K-S，而且这个结果是最终结果。
根据上面的分析，当讨价还价博弈是无限次时，虽然逆向归纳法不能直接使用，但我们可以运用逆向归纳法的思想以及博弈树在自身结构上的自相似性解出其唯一的子博弈精练纳什均衡，这就是著名的鲁宾斯泰英定理:
鲁宾斯泰英定理：无限次轮流出价的讨价还价博弈有唯一的子博弈精练纳什均衡，其均衡结果为：
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