完全完美信息动态博弈完美体育
现在的问题是：店主需要确定AB的水平，以使这 种工资制度成为一种有效的激励！
参与约束： 当店员风险中性时 符合其最大利益,店主选择下限 店员的期望得益为： A 4 Be e2 解得： 这意味着店员的努力程度是提成比例的正函数。 下面看店主： 店主所给出的工资应该是店员参与约束下限： A B(4e ) e 1 代入得益公式得： ，期望得 ，易求得 令 得 ，再代入参与约束得 ， 求数学期望得 解得 ， 则店主的最优激励工资计算公式是 实际上是一种承包或者租赁经营制！
工会组织(即作为企业劳动力惟一供给者的工会组织)的相 互关系:工会对工资水平说一不二，但企业却可以自主决 定就业人数(在更符合现实情况的模型中，企业和工会间 就工资水平讨价还价，但企业仍自主决定就业，得到的定 性结果与本模型相似)。工会的效用函数为U(W, L)，其中 W为工会向企业开出的工资水平，L为就业人数。 • 假定U(W, L)是W和L的增函数。企业的利润函数 为 ，其中R (L)为企业雇佣L名工人可以取 得的收入(在最优的生产和产品市场决策下)，假定R (L)是 增函数，并且为凹函数。 • 假定博弈的时序为:
2.产量高的雇员得到高工资wh，产量低的得到低工资wl 。 3.两雇员在已知雇主宣布的工资奖金制度下，同时独立选择各自的努力程度。
只能根据成果付酬，w是成果函数， 而非努力程度函数。不确定性对 代理人利益、选择有影响。
定义：如果一个完美信息的动态博弈中，各博弈方的策 略构成的一个策略组合满足，在整个动态博弈及它的 所有子博弈中都构成纳什均衡，那么这个策略组合称 为该动态博弈的一个“子博弈完美纳什均衡”。 • 子博弈完美纳什均衡本身也是纳什均衡，不过它是比 纳什均衡更强的解。 • 子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威 胁和承诺，因此是真正稳定的。 • 子博弈是倒着看的，从最小的子博弈开始我们就找稳 定策略组合，直至最开始的节点完美动态，那么当然是稳定的 了。大家会发展这正是逆推归纳法。 • 逆推归纳法是求完美信息动态博弈子博弈完美纳什均 衡的基本方法。
• 这里P(Q)=a-Q，是市场上的总产品Q=q1q2时的市场出 清价格，c是生产的边际成本，为一常数(固定成本为0)。 • 为解出这一博弈的逆向归纳解，我们首先计算企业2对企 业1任意产量的最优反应，R2(q1)应满足:
的决策问题，参与人1也就知道参与人2通过拒绝参与人1的 * * 条件，在第二阶段可以得到1-S2 ，但下一阶段得到的1-S2 在本阶段的价值只有 。当且仅当 时， 参与人2才会接受1-S1。从而参与人1在第一阶段的决策问题 就可归于在本阶段收入 (通过向参与人2提出条 * 件 )和下阶段收入S2 之间作出选择。由于：
• 已知q1 a-c,在前面我们分析同时行动的古诺博弈中，得出 的R2(q1)和上式完全一致，两者的不同之处在于这里的R2(q1) 是企业2对企业1已观测到的产量的真实反应，而在古诺的分 析中， R2(q1)是企业2对假定的企业1的产量的最优反应，且 企业1的产量选择是和企业2同时作出的。
者1的第二次行动)开始。这里参与者1面临的选择是L’’。 那么在第二阶段，参与者2预测到一旦博弈进入到第三阶段， 则参与者1会选择L’’ ，这会使2的收益为0，从而参与者2 在第二阶段的选择为:L‘可得收益1, R“可得收益0，于是 L‘是最优的。 • 这样在第一阶段，参与者1预测到如果博弈进入到第二阶段， 2将选择L’，使参与者1的收益为1，从而参与者1在第一阶 段的选择是:L收益为2, R收益为1,于是L是最优的。 • 上述的求解过程求出：参与者1在第一阶段的最优选择是L， 从而博弈结束。
在斯塔克尔贝里博弈中，存在问题的信息是企业的产量: 企业2知道q1,并且(重要的是)企业1知道企业2知道q1。为 看清楚这一信息的影响，我们把上面序贯行动的博弈稍作 修改，假设企业1先选择q1 ，之后企业2选择q2，但事前并 没有观测到q1,如果企业2确信企业1选择了它的斯塔克尔 贝里产量(a-c)/2，则企业2的最优反应仍是R2 (q1)=(a-c)/4。 • 但是，如果企业1预测到企业2将持有这一推断并选择这一 产量，企业1就会倾向于它对(a-c)/4的最优反应----即3(ac)/8—而不愿去选择斯塔克尔贝里产量(a-c)/2，那么企业2 就不会相信企业1选择了斯塔克尔贝里产量。从而这一修 改过的序贯行动博弈的惟一纳什均衡，对两个企业都是选 择产量(a-c)/3.----这正是古诺博弈中的纳什均衡，其中企 业是同时行动的。
w(E)-E w(S)-S w(E) w(S)E-S 其经济含义是只有代理人努 力工作的报酬到达偷懒的时 候的基本报酬，还有至少一 个不低于能补偿努力和偷懒 的负效用的增加额才可以。
乙 借 甲 分 （2，2） 打 乙 不借 分 （2，2） 打 借 甲 不借
明显小于前者，所以参与人1在第一阶段提出的最优条件 是S*1= 这样，在此三阶段博弈的逆向归纳解中，参与人1向参与 人2提出分配方案（S*1,1-S1*)，后者接受该方案。
• 经济生活中有大量的委托代理问题：有合同关系的显性委 托和没有合同但是有明确委托关系的隐性委托。 • 委托人与代理人之间的博弈关系的核心问题是两人动态博 弈。 • 委托代理问题中最重要的问题有两个： • 1.监督的困难； • 2.努力程度与成果关系的不确定性。 • 所以如何使得代理人的行为符合委托人的利益是委托代理 理论的重要课题。 • 问题的核心在于委托合同的设计问题，因此也被称为“激 励机制设计”或者“机制设计”。更进一步的实际上是薪 酬工资制度的选择。
• 这张图描述了工会的无差异曲线，若令L不变，当w提高 时工会的福利就会增加。于是较高的无差异曲线代表了工 会较高的效用水平。
• 下面我们分析工会在第一阶段的问题，由于工会和企业同样 可以解出企业在第二阶段的问题，工会就可预测到如果它要 求的工资水平为w1，企业最优反应的就业人数将会是L*(w1)。 那么，工会在第一阶段的问题可以表示为:
对于委托人来说，就是要根据上 述两个条件，以及 E、S的值，选 择最佳的工资水平w(20)和w(10)，
• 我们将分析以下类型的简单博弈，并称其为完全非完美信息 两阶段博弈: • 1.参与者1和2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1和a2; • 2.参与者3和4观察到第一阶段的结果，然后同时从各自的可 行集A3和A4中选择行动a3和a4; • 3.收益为u i(a 1,a 2,a 3,a 4)，i=1,2,3,4完美体育。 • 许多经济学问题都符合以上的特点，包括对银行的挤提、关 税和国际市场的不完全竞争以及工作竞赛(如一个企业中， 几个副总裁为下一任总裁而竞争)。 • 这种博弈的求解仍然是逆推归纳法为主的求解方法，核心仍 然是子博弈完美纳什均衡。但由于在某阶段同时选择策略， 所以不是阶段性的单人最优化问题，而是一个静态博弈问题。
模型的条件描述： 努力成果不确定而且不可监督，而且委托人可以选择 报酬函数、代理人在连续区间选择努力水平e的委托－ 代理模型。代理人的机会成本U,努力有负效用是单调 递增的凸函数C=C(e)。 代理人的产出是e的随机函数R(e); W=w(R),委托人只能看到产出R，不能知道努力e，所以 只能跟根据产出R设计薪酬制度。 这样，委托人的利润：R-W＝R(e)-w[R(e)] 代理人的利润：w-c= w[R(e)]-C(e)
• 由于动态博弈中纳什均衡是不可靠的，不 具备稳定性，因此要发展能排除不可信行 为的新的均衡概念。赛尔腾（1965）提出 了子博弈完美纳什均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium)的概念。 • 要介绍子博弈完美纳什均衡，必须先了解 子博弈的概念。
• 还有很多经济问题可通过把以上条件稍加改动而建立模型， 比如增加参与者人数或者允许同一参与者(在一个以上的阶 段)多次选择行动。也可以允许少于四个的参与者:在一些应 用中，参与者3和4就是参与者1和2。 • 我们解决此类问题使用的方法，仍沿用了逆向归纳的思路， 但这里从博弈的最后阶段逆向推导的第一步就包含了求解一 个真正的博弈(给定第一阶段结果时，参与者3和4在第二阶 段同时行动的博弈)，而不再是前一节求解单人最优化的决 策问题。为使问题简化，本节中我们假设对第一阶段博弈每 一个可能结果(a1, a2)，其后(参与者3和4之间的)第二阶段博 弈有惟一的纳什均衡，表示为
信投资者2将在日期1提款、则投资者1的最优反应也是去提 款，即使他们等到日期2再去提款的话两人的福利都会提高。 • 这里的银行挤提博弈在一个很重要的方面不同于第1章中讨 论的囚徒困境:虽然两个博弈都存在一个对整个社会是低效率 的纳什均衡;但在囚徒困境中这一均衡是惟一的(并且是参与 者的严格占优战略)，而在这里还同时存在另一个有效率的 均衡。从而，这一模型并不能预侧何时会发生对银行的挤提， 但的确显示出挤提会作为一个均衡结果而出现。
定义：从动态博弈的最后 一个阶段博弈方的行为 开始分析，逐步倒推回 前一个阶段相应博弈方 的行为选择，一直到第 一个阶段的分析方法， 称为“逆推归纳法”。 • 逆推归纳法是动态博弈 分析最重要、基本的方 法。
• 一个两阶段动态博弈逆向归纳法的公式化表达： • 当在博弈的第二阶段参与者2行动时，由于其前参与者1已选 择行动a1，他面临的决策间题可用下式表示:
由于雇员之间博弈的均衡是对称均衡，因此双方赢得竞赛的机会都是 0.5，假设雇能得到其他工作机会提供的得益是U a ，则保证雇员接受工作 的基本条件是： 1 1 *
• • • • • • • 1.参与者1从可行集A1中选择一个行动a1； 2.参与者2观察到a1之后从可行集A2中选择一个行动a2； 3.两人的收益分别为u1（a1,a2)和u2（a1,a2)； 完全且完美信息动态博弈的主要特点是： (1)行动是顺序发生的； (2)下一步行动选择之前，所有以前的行动都可被观察到； (3)每一可能的行动组合下参与者的收益都是共同知识。
• 策略组合“乙在第一阶段选择‘不借’、如果有第三阶段选 择则选择不打;甲如果有第二阶段选择选‘不分”’，则是了 博弈完美纳什均衡，因为该策略组合的双方策略不但在整个 博弈中构成纳什均衡，而且在两级子博弈中也都构成纳什均 衡。 • 值得注意的是，当两个博弈方按照上述子博弈完美纳什均衡 策略组合行为时，实际上不会进行到博弈的第二、第三阶段， 两个博弈方在第二、二阶段的行为实际上不会发生。我们称 此时第二阶段甲的选择点和第三阶段乙的选择点为“不在均 衡路径上”的，两博弈方的策略在这两个节点的选择称为 “不在均衡路径上的选择”。我们必须强调，子博弈完关纳 什均衡必须对博弈方在所有选择节点处的选择都作出规定， 包括最终不在均衡路径土几的节点，不管是在均衡路径上的 选择还是不在均衡路径。
• 一种可能是“参与者1是理性的”是共同知识，但“参与者2 是理性的”却不是共同知识:如果1认为2可能不是理性的， 则1就可能在第一阶段选择R，希望2在第二阶段选择R’，从 而给1以机会在第三阶段选择L‘‘。另一种可能是“参与者2是 理性的”是共同知识，但“参与者1是理性的”却不是共同 知识:如果1是理性的，但推测2可能认为1是非理性的。 • 这时1也可能在第一阶段选择R，希望2会认为1是非理性的 而在第二阶段选择R’，期望1能在第三阶段选择R’’。逆向归 纳中关于1在第一阶段选择R的假定可通过上面的情况得到解 释。不过在有些博弈中，对1选择了R的更为合理的假定是1 确实是非理性的。 • 在这样的博弈中，逆向归纳在预测博弈进行方面就会失去其 大部分作用，正像在博弈论不能提供惟一解并不能达成协议 的博弈中，纳什均衡也对预测博弈的结果所助无几。
• 最后，我们探讨逆向归纳法背后的理性假定。看下面的例子： • 我们用博弈树表示一个动态博弈，树上每一枝的末端都有两 个收益值，上面代表参与者1的收益，下面代表参与者2的收 益。考虑下面的三步博弈，其中参与者1有两次行动:
代理人的参与约束： w[R(e)]-C(e) ≥U 但是委托人希望报酬越低越好：w[R(e)]＝C(e) U 委托人的受益函数：R(e)-w= R(e)- C(e) –U 求出使委托人符合自身利益的代理人努力程度e*. 但是这个e*不一定是代理人根据自身利益最大化作出的选 择，也就是同时e*满足： w[R(e*)]-C(e*) ≥ w[R(e)]-C(e) 这是激励相容约束，满足： 1. R(e)-w= R(e)- C(e) –U 2. w[R(e*)]-C(e*) ≥ w[R(e)]-C(e) 就意味着两者的利益完全一致，代理人的行为就符合委托 人的利益最大话。委托人按照参与约束和激励相容条件设 计报酬函数，就可以达到均衡状态。
• 但是即使逆向归纳预测博弈将在第一阶段结束，我们论证过 程的重要部分却是考虑如果博弈不在第一阶段结束时可能发 生的情况。 • 比如在第二阶段，当参与者2预测如果博弈进入第三阶段， 则1会选择L’’，这时2假定1是理性的。由于只有在1偏离了博 弈的逆向归纳解，才能轮得到2选择行动，而这时2对1的理 性假定便看似是矛盾的，即如果1在第一阶段选择了R，那么 第二阶段2就不能再假定1是理性的了。但这种理解是不对的。 • 如果1在第一阶段选择了R，则两个参与者都是理性的就不可 能是共同知识，但这时1仍有理由在第一阶段选择R，却不与 2对1的理性假定相矛盾。
• 我们将定义子博弈完美纳什均衡为：只有不包含不可置信的 威胁的纳什均衡才是子博弈完美纳什均衡。一个完全且完美 信息动态博弈可能会有多个均衡，但惟一的子博弈完美纳什 均衡就是与逆向归纳解相对应的均衡。正如我们在前面所观 察到的，有些博弈会有多个纳什均衡，但有一个均衡明显占 优，成为博弈的解。 • 比如，上例分钱博弈中，双方的策略组合“乙第一阶段选择 ‘借’，第二阶段选择‘打’;甲第二阶段选择’分”’虽然 是整个博弈的一个纳什均衡，但这个策略组合中乙的策略要 求乙在第三阶段单人博弈构成的子博弈中选择的“打”不是 该子博弃的一个纳了卜均衡，因此根据子博弈完美纳什均衡 的定义判断，这个策略组合不是子博弈完美纳什均衡。这也 是上述纳什均衡策略组合不稳定的根源。
符合雇主利益而且有激 励作用的奖金水平只于 工作成绩的不确定有关， 进一步的，与产出函数 随机影响因子的方差正 相关。
• 逆推归纳法只能分析明确设定的博弈问题，要求博弈 的结构，包括次序、规则和得益情况等都非常清楚， 并且各个博弈方了解博弈结构，相互知道对方了解博 弈结构。这些可能有脱实际的可能 • 逆推归纳法也不能分析比较复杂的动态博弈 • 在遇到两条路径利益相同的情况时逆推归纳法也会发 生选择困难 • 对博弈方的理性要求太高，不仅要求所有博弈方都有 高度的理性，不允许犯任何错误，而且要求所有博弈 方相互了解和信任对方的理性，对理性有相同的理解， 或进一步有“理性的共同知识”
• 斯塔克尔贝里(1934)提出一个双头垄断的动态模型，其中 一个支配企业(领导者)首先行动，然后从属企业(追随者) 行。比如在美国汽车产业发展史中的某些阶段，通用汽车 就扮演过这种领导者的角色(这一例子把模型直接扩展到 允许不止一个追随企业，如福特、克莱斯勒等等)。根据 斯塔克尔贝里的假定，模型中的企业选择其产量，这一点 和古诺模型是一致的(只不过古诺模型中企业是同时行动 的，不同于这里的序贯行动)。
• 埃斯皮诺萨和里(Espi nosa&Rhee, 1989 )基于如下事实为这 一质疑提供了一个解释:企业和工会之间经常会进行定期或 不定期的重复谈判(在美国经常是每三年一次)，在这样的重 复博弈中，可能会存在一个均衡，使得工会的选择w和企业 的选择L都在图所示的阴影部分以内，即使在每一次性谈判 中，这样的w和L都不是逆向归纳解。
• • • • • • • 阶段：动态博弈中一个博弈方的一次选择行为。 动态博弈最好的表示方法：扩展型（博弈树）。 A 例子：仿冒和反仿冒博弈 不仿冒 仿冒 并不是所有的动态博弈都 B 可以用扩展形表示，比如 不制止 （0，10） 制止 动态博弈的阶段很多：象棋。 A 仿冒 不仿冒 战略空间是连续函数：产量。 （-2，5）
• 表现在图中的无差异曲线上就是，工会希望选择一个工资水 平w，由此得到的结果(w， L*(w))处于可能达到的最高的无 差异线上。这一最优化间题的解为w*完美体育，这样一个工资要求将 使得工会通过(w*， L*(w*))的无差异曲线与L*(w)相切于该点， 如图所示。从而(w*， L*(w*))就是这一工资与就业博弈的逆 向归纳解。
• 下面的图把L *(w)表示为w的函数(但坐标轴经过旋转以便于 和以后的数据相比较)，并表示出它和企业每条等利润线交 于其最高点。若令L保持不变，
• L保持不变完美体育，w降低时企业的利润就会提高，于是 较低的等利润曲线代表了较高的利润水平。
为解出此三阶段博弈的逆向归纳解，首先需要计算如果博 弈进行到第二阶段，参与人2可能提出的最优条件。参与人1 拒绝参与人2在这一阶段的条件s2，可以在第三阶段得到s， 只有在满足： • 时参与人1才会接受条件s2。
再来看s2，2在第二阶段面临着在： (通过向参 与人1提出条件，给他 )和 之间进行选择， 很明显她将选择前者。也就是说，于是参与人2在第二阶段可 以提出的最优条件是：
• D、两个都不提，等到投资项目结束，都得到R • E、如果一个人在期满后提取，另一人不动则分别得：2RD,D。 • 如下图所示：
• 我们使用逆向归纳法分析问题 • 从日期2开始先考虑日期2的标准式博弈，由于明显的RD,也 就是说2R-DR。我们可以得到这个博弈的纳什均衡（R,R）。 • 由于不存在贴现，我们可以直接带入日期1的博弈矩阵表示 式。
• 颤抖手均衡：是由塞尔腾提出的一个思想，它是理解有限 理性的博弈方在动态博弈中偏离子博弈完美纳什均衡行为 最重要的思想之一，也是精练子博弈完美纳什均衡的一种。
• 动态博弈中各个博弈方的策略是自己设定的，在各个博弈 阶段，针对实际情况可以进行随机的选择，这称为“相机 选择”。 • 相机选择的存在使得博弈方的策略的可信性值得怀疑，也 就是说博弈方是否会真正始终按照自己策略所设定的方案 乙 借 行为还是临时改变主意？ 不借 • 比如下面的例子： 甲 （1，0） 不分 分 • 在这个例子中，对乙来说， • 甲的分钱许诺是不可信的。 （0，4） （2，2） • 关键是对甲的行为有所约束。
• 那么企业1在斯塔克尔贝里博弈中的利润一定高于其在古诺 博弈中的利润。但斯塔克尔贝里博弈中的市场出清价格降低 了，从而总利润水平也会下降，那么和古诺博弈的结果相比， 在斯塔克尔贝里博弈中，企业1利润的增加必定意味着企业2 福利的恶化。 • 和古诺博弈相比，斯塔克尔贝里博弈中企业2利润水平的降 低，揭示了单人决策问题和多人决策间题的一个重要不同之 处。在单人决策理论中，占有更多的信息决不会对决策制定 者带来不利，然而在博弈论中，了解更多的信息(或更为精 确地说，是让其他参加者知道一个人掌握更多的信息)却可 以让一个参与者受损。
一阶条件为： 1 g (e ) 0 代入两雇员的最优努力水平决定公式得到：
• 参与人1和2就一美元的分配进行谈判。他们轮流提出方案: 首先参与人1提出一个分配建议，参与人2可以接受或拒绝; 如果参与人2拒绝，就由参与人2提出分配建议，参与人1选 择接受或拒绝;如此一直进行下去。一个条件一旦被拒绝， 它就不再有任何约束力，并和博弈下面的进行不再相关。每 一个条件都代表一个阶段，参与人都没有足够的耐心:他们 对后面阶段得到的收益进行贴现，每一阶段的贴现因子为
• 现在我们对前一节所讨论的博弈类型加以丰富。和在完全 且完美信息动态博弈中相同，我们继续假定博弈的进行分 为一系列的阶段，下一阶段开始前参与者可观察到前面所 有阶段的行动。与上节分析的不同之处在于，本节我们每 一阶段中存在着同时行动。将看到，这种阶段内的同时行 动意味着本节分析的博弈包含了不完美信息。此类博弈和 前一节所讨论的博弈又有着很多共同特性。 • 这种模型又被称为“有同时选择的动态博弈模型”
由于企业1也能够像企业2一样解出企业2的最优反应，企业 1就可以预测到他如选择q1，企业2将根据R2(q1)选择产量。 那么在博弈的第一阶段，企业1的问题就可表示为：
• 这就是斯塔克尔贝里双头垄断博弈的逆向归纳解。 • 对斯塔科尔贝里双头垄断博弈的逆向归纳解的评价： • 回顾在古诺博弈的纳什均衡中，每一企业的产量为(a一c)/3, 也就是说，斯塔克尔贝里博弈中逆向归纳解的总产量3(ac)/4，比古诺博弈中纳什均衡的总产量2(a-c)/3要高，从而斯 塔克尔贝里博弈相应的市场出清价格就比较低。不过在斯塔 克尔贝里博弈中，企业1完全可以选择古诺均衡产量(a一 c)/3 ，这时企业2的最优反应同样是古诺均衡的产量，也就 是说在斯塔克尔贝里博弈中，企业1完全可以使利润水平达 到古诺均衡的水平，而却选择了其他产量，
定义：由一个动态博弈第一阶段以外的某阶段开始的 后续博弈阶段构成的，有初始信息集和进行博弈 所需要的全部信息，能够自成一个博弈的原博弈 的一部分，称为原动态博弈的一个“子博弈”。 乙 不借 • 首先子博弈不能包含原博 借 （1，0） 弈的第一个阶段，这意味 甲 不分 着动态博弈本身不会是他 分 自己的子博弈。 乙 （2，2） • 其次子博弈必须有一个明 （0，4） 确的信息集，不能分割任 （-1，0） 何信息集，在多节点信息集合的不完美信息集中有可 能不存在子博弈。
• 案例情况： • 两个投资者每人存入银行一笔存款D，银行已将这些存款 投入一个长期项目。如果在该项目到期前银行被迫对投资 者变现，共可收回2r，这里DrD/2。不过，如果银行允 许投资项目到期，则项目共可取得2R，这里RD。有两 个时间，投资者可以从银行提款:在银行的投资项目到期 之前或者在到期之后。为使分析简化，假设不存在贴现。 • 两个投资者的提款日期可以有如下可能： • A、两个都提前，都得到r • B、一个提前提取另一个不动，则第一人得D,另一人得2rD. • C、两个在到期后提，各得R
此即“参与约束”。 由于在雇员接受工作的前提下，雇主必然尽可能压低工资，因此约束 条件可取等号：1 1
第三种开金矿博弈中， （不借-不打，不分）和 （借-打，分）都是纳什均衡。但后者不可信，不可 能实现或稳定。 • 结论：纳什均衡在动态博弈可能缺乏稳定性，也就 是说，在完全信息静态博弈中稳定的纳什均衡，在 动态博弈中可能是不稳定的，不能作为预测的基础。 • 根源：纳什均衡本身不能排除博弈方策略中包含的 不可信的行为设定，不能解决动态博弈的相机选择 引起的可信性问题
假定对A1中的每一个a2，参与者2的最优化问题只有惟一 解，用R 2(a1)表示，这就是参与者2对参与者1的行动的 反应(或最优反应)。
• 由于参与者1能够和参与者2一样解出2的问题，参与者1可以 预测到参与者2对1每一个可能的行动a1所作出的反应，这样 1在第一阶段要解决的问题可以归结为：
• 假定参与者1的这一最优化问题同样有惟一解，表示为a1*， 我们称 是这一博弈的逆向归纳解。 • 逆向归纳解不含有不可置信的威胁:参与者1预测参与者2 将对1可能选择的任何行动a1做出最优反应，选择行动 R2(a1)。
• 策略是在整个博弈中所有选择、行为的计划，不能分割。 • 结果是上述“计划型”策略的策略组合，构成一条路径. • 得益对应每条路径，而不是对应每步选择、行为.
• 动态博弈的非对称性——先后次序决定动态博弈必然是 非对称的。先选择、行为的博弈方常常更有利，有“先 行优势”。
如果参与人1和2预测到参与人3和4在第二阶段的行动将由 给出 ，则参与人1和2在第一阶段的 问题就可用以下的同时行动博弈表示: • 1.参与人1和2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1和a2; • 2.收益情况为： 假定(a*1, a*2)为以上同时行动博弈惟一的纳什均衡，我们称 (a*1, a*2， a *3 (a*1 , a*2 ), a* 4(a*1 , a*2)）为这一两阶段博弈 的子博弈完美解。此解与完全且完美博弈中的逆向归纳解在 性质上是一致的。 • 如果参与者3和4威胁在后面的第二阶段博弈中，他们将不选 择纳什均衡下的行动，参与人1和2是不会相信的，因为当博 弈确实进行到第二阶段时，参与人3和4中至少有一个人不愿 把威胁变为现实(恰好是因为它不是第二阶段博弈的纳什均 衡)。
• 由于rD(并且由此可得2r-D r)，这一由两阶段博弈变形得到 的单阶段博弈存在两个纯战略纳什均衡:(1)两个投资者都提款， 最终收益情况为(r , r); 两个投资者都不提款，最终收益为 (R,R)。从而，最初的两阶段银行挤提博弈就有2个子博弈完 美解。
更进一步我们还可以看出，(w‘*,L*(w*))是低效率的，在上 图中，如果w和L处于图中阴影部分以内，企业和工会的效 用水平都会提高。这种低效率对实践中企业对雇佣工人数 量保持的绝对控制权提出了质疑。(允许工人和企业就工资 相互讨价还价，但企业仍对雇佣工人数量绝对控制，也会 得到相似的低效率解)。
因为可监督，因此代理人报酬与成 果无关，只与努力情况有关。不确 定性风险由委托人承担。代理人选 择同无不确定性情况。 努力
(1)工会给出需要的工资水平W; (2)企业观测到(并接受)W，随后选择雇佣人数L; (3)收益分别为U(W, L)和 。 即使没有假定U(W, L)和R (L)的具体的表达式，从而无法明 确解出该博弈的逆向归纳解，但我们仍可以就解的主要特征 进行讨论。
• 首先，对工会在第一阶段任意一个工资水平w，我们能够分 析在第二阶段企业最优反应L*(W)的特征。给定w，企业选择 L*(W)满足下式:
留给参与人2的份额为1-s1。参与人2或者接受这一条件(这种 情况下，博弈结束，参与人1的收益为s1 ，参与人2的收益为 1-s1 ，都可立刻拿到)；或者拒绝这一条件(这种情况下，博 弈将继续进行，进入第二阶段)。
（2）在第二阶段的开始。参与人2提议参与人1分得1美元 的s2，留给参与人2的份额为1-s2 ;参与人1或者接受条件(这 种情况下，博弈结束，参与人1的收益s2，参与人2的收益1s2都可立即拿到)，或者拒绝这一条件，这种情况下，博弈继 续进行，进入第三阶段。 • （3）在第三阶段的开始，参与人1得到1美元的s，参与人2 得到1-s。 • 在这样的三阶段博弈中，第三阶段的解决方案(s, 1-s)是外 生给定的。在我们后面将考虑的无限期模型中，第三阶段的 收益、将表示如果博弈进行到第三阶段(即如果前面两个提 议都被拒绝)的线在其后进行的博弈中可得到的收 益。
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